MECÂNICA QUÂNTICA HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI [1.980]

MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] [ $\Delta {\mathcal {O}}\Delta {\mathcal {F}}\geqslant \hbar /2\,,$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] [ ${\hat {\mathcal {O}}}={\hat {x}}_{\mathrm {free} }+\delta {\hat {\mathcal {O}}}+\delta {\hat {x}}_{BA}[{\hat {\mathcal {F}}}]\,,$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

O limite quântico na física é um limite na precisão de medição em escalas quânticas.^[1] Dependendo do contexto, o limite pode ser absoluto (como o limite de Heisenberg) ou pode se aplicar apenas quando o experimento é conduzido com estados quânticos naturalmente ocorrentes (por exemplo, o limite quântico padrão em interferometria) e pode ser contornado com estado de preparação avançado e esquemas de medições.

O uso do termo limite quântico padrão ou SQL é, no entanto, mais amplo do que apenas a interferometria. Em princípio, qualquer medição linear de uma observável mecânica quântica de um sistema em estudo que não comute consigo mesmo em tempos diferentes leva a tais limites. Em suma, é o princípio da incerteza de Heisenberg que é a causa.

Uma explicação mais detalhada seria que qualquer medição na mecânica quântica envolve no mínimo duas partes, um Objeto e um Medidor. O primeiro é o sistema cuja observável, digamos ${\hat {x}}$ , queremos medir. O último é o sistema que agrupamos ao Objeto para inferir o valor de ${\hat {x}}$ do Objeto registrando alguma observável escolhida, ${\hat {\mathcal {O}}}$ , deste sistema, por exemplo, a posição do ponteiro em uma escala do Medidor. Isso, em poucas palavras, é um modelo da maioria das medições que ocorrem na física, conhecidas como medições indiretas (veja pp. 38–42 de^[2] ). Ou seja, qualquer medição é o resultado de interação e isso atua em ambas as direções. Portanto, o Medidor atua sobre o Objeto durante cada medição, geralmente por meio da quantidade, ${\hat {\mathcal {F}}}$ , conjugada à observável de leitura ${\hat {\mathcal {O}}}$ , perturbando assim o valor da observável medida ${\hat {x}}$ e modificando os resultados de medições subsequentes. Isso é conhecido como ação reversa (quântica) do Medidor no sistema sob medição.

Ao mesmo tempo, a mecânica quântica prescreve que a observável de leitura do Medidor deve ter uma incerteza inerente, $\delta {\hat {\mathcal {O}}}$ , aditiva e independente do valor da quantidade medida ${\hat {x}}$ . Isto é conhecido como imprecisão de medição ou ruído de medição . Devido ao princípio da incerteza de Heisenberg, essa imprecisão não pode ser arbitrária e está ligada à perturbação de ação reversa pela relação de incerteza :

\Delta {\mathcal {O}}\Delta {\mathcal {F}}\geqslant \hbar /2\,,

onde $\Delta a={\sqrt {\langle {\hat {a}}^{2}\rangle -\langle {\hat {a}}\rangle ^{2}}}$ é um desvio padrão da observável $�$ e $\langle {\hat {a}}\rangle$ representa o valor esperado de $�$ em qualquer estado quântico que o sistema esteja. A igualdade é alcançada se o sistema estiver em um estado de incerteza mínima . A consequência para o nosso caso é que quanto mais precisa for a nossa medição, ou seja, quanto menor for $\Delta {\mathcal {\delta O}}$ , maior será a perturbação que o Medidor exerce sobre o observável medido ${\hat {x}}$ . Portanto, a leitura do Medidor consistirá, em geral, em três termos:

{\hat {\mathcal {O}}}={\hat {x}}_{\mathrm {free} }+\delta {\hat {\mathcal {O}}}+\delta {\hat {x}}_{BA}[{\hat {\mathcal {F}}}]\,,

onde ${\hat {x}}_{\mathrm {free} }$ é um valor de ${\hat {x}}$ que o Objeto teria, se não estivesse acoplado ao Medidor, e $\delta {\hat {x_{BA}}}[{\hat {\mathcal {F}}}]$ é a perturbação para o valor de ${\hat {x}}$ causada pela força de ação reversa, ${\hat {\mathcal {F}}}$ . A incerteza deste último é proporcional a $\Delta {\mathcal {F}}\propto \Delta {\mathcal {O}}^{-1}$ . Assim, existe um valor mínimo, ou o limite de precisão que se pode obter em tal medição, desde que $\delta {\hat {\mathcal {O}}}$ e ${\hat {\mathcal {F}}}$ não são correlacionados.^[3]^[4]

Os termos "limite quântico" e "limite quântico padrão" às vezes são usados de forma alternadamente. Usualmente, "limite quântico" é um termo geral que se refere a qualquer restrição de medição devido a efeitos quânticos, enquanto o "limite quântico padrão" em qualquer contexto se refere a um limite quântico que é universal naquele contexto.

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Quando uma medida é operada em um sistema quântico, ela só possui sentido se for utilizado o conceito de média de ensemble, ou seja, sistemas a priori identicamente preparados. Após a realização da medida obtêm-se uma caracterização estatística dos constituintes do estado final total, composto por todos os subsistemas onde a medição fora realizada. Por exemplo, após a realização de um experimento de Stern-Gerlach, sabemos que o estado físico do feixe de átomos de prata após a interação com o campo magnético externo possui uma população de 50% dos seus átomos colapsados em um estado de spin para cima e a parcela restante, também composta por 50%, possui spin para baixo. Entretanto, ao sair do forno, ou em outras palavras, antes da medição, não podemos caracterizar os estados físicos dos átomos que constituem o feixe; o spin individual de cada átomo pode estar apontando para qualquer direção, utilizando termos gerais, o estado físico é randômico.

Para o caso dos sistemas físicos onde não ocorreu uma medição, sabemos que eles são compostos por um número finito de constituintes, de forma que podemos atribuir um peso a sua população relativa de um dado estado particular, ou seja,

$|a\rangle =p_{1}|1\rangle +p_{2}|2\rangle +...+p_{N}|N\rangle =\sum _{m=1}^{N}p_{m}|m\rangle$

Nesta equação, $|a\rangle$ é o ket que representa o sistema físico antes de uma medida, os coeficientes $p_{m}$ configuram os pesos dados pela população fracionária que possui em comum a representação do ket $|n\rangle$ e N é o número de indivíduos no ensemble, ou o número de sistemas identicamente preparados. Nesse caso, deve-se tomar cuidado para não confundir o número de indivíduos que compõem o sistema com a dimensão do espaço gerado pelos autovetores de um dado observável, N geralmente supera com folga a dimensão do auto-espaço de um dado operador. Como estamos tratando de uma população fracionária, obviamente, a soma dos pesos deve ser a unidade. Somos impostos a condição

$\sum _{m=1}^{N}p_{m}=1$

Além disso, não se tem nenhuma informação geométrica dos kets mediados pelos $p_{n}'s.$ Eles podem muito bem ser ortogonais entre si, como não, podem ser autovetores de um operador em comum como também o podem não ser e nem sabemos se os operadores que os representam são compatíveis ou não. Sendo assim, podemos definir a natureza estatística deste conjunto; antes de realizarmos a medida em um sistema composto pela população de estados físicos, considerando que exista mais de um $p_{n}$ diferente de zero, dizemos que $|a\rangle$ configura um ensemble misto. Agora, após a realização de uma medida, podemos analisar em sua totalidade a parte da população fracionária caracterizada por um certo estado físico em comum, ou seja, a coletânea de sistemas físicos tais quais são representadas por um único ket. Para este último caso, damos o nome de ensemble puro. Ou seja, um ensemble misto é composto por uma coleção de ensembles puros.

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