MECÂNICA QUÂNTICA  DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA  GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

  [Gd*]  *  /   [] [] [ [     ] [] [ ..= 

Dentro da teoria das probabilidades, um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias representando a evolução de um sistema de valores com o tempo. É a contraparte probabilística de um processo determinístico. Ao invés de um processo que possui um único modo de evoluir, como nas soluções de equações diferenciais ordinárias, por exemplo, em um processo estocástico há uma indeterminação: mesmo que se conheça a condição inicial, existem várias, por vezes infinitas, direções nas quais o processo pode evoluir.

Em casos de tempo discreto, em oposição ao tempo contínuo, o processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias, como por exemplo uma cadeia de Markov. As variáveis correspondentes aos diversos tempos podem ser completamente diferentes, o único requisito é que esses valores diferentes estejam todos no mesmo espaço, isto é, no contradomínio da função. Uma abordagem possível é modelar as variáveis aleatórias como funções aleatórias de um ou vários argumentos determinísticos, na maioria dos casos, em relação ao parâmetro do tempo. Apesar de os valores aleatórios de um processo estocástico em momentos diferentes parecerem variáveis aleatórias independentes, nas situações mais comuns, eles exibem uma complexa dependência estatística.

Exemplo de processos estocásticos incluem flutuações nos mercados de ações e nas taxas de câmbio, dados médicos como temperatura, pressão sanguínea e variações nos potenciais elétricos do cérebro registrados em um eletroencefalograma, fluxo turbulento de um líquido ou gás, variações no campo magnético da Terra, mudanças aleatórias no nível de sinais de rádio sintonizados na presença de distúrbios meteorológicos, flutuação da corrente em um circuito elétrico na presença de ruído térmico, movimentos aleatórios como o movimento Browniano ou passeios aleatórios, entre outros.

Uma generalização de um processo estocástico, o campo aleatório é definido ao permitir que as variáveis sejam parametrizadas por membros de um espaço topológico ao invés do tempo. Exemplos de campos aleatórios incluem imagens de estática, topografia, ondas de superfície e variações na composição de um material heterogêneo.

Mais genericamente, seguindo Kac^[1] e Nelson,^[2] qualquer tipo de evolução temporal, determinística ou essencialmente probabilística, que seja analisável em termos de probabilidade pode ser chamada de processo estocástico.

Definição formal e propriedades básicas

Definição

Dado um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\mathrm{\Omega },\mathcal{�},�)}$ e um espaço mensurável ${\displaystyle (�,\mathrm{\Sigma })}$, um processo estocástico de valor S é um conjunto de variáveis aleatórias de valor S em ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, indexadas por um conjunto totalmente ordenado T ("tempo"). Isto é, um processo estocástico X é um conjunto

${\displaystyle \{{�}_{�}:�\in �\}}$

onde cada ${\displaystyle {�}_{�}}$ é uma variável de aleatória de valor S em ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$. O espaço S é então chamado de espaço de estados do processo.

Distribuições de dimensões finitas

Seja X um processo estocástico de valor S. Para cada sequência finita de ${\displaystyle {�}^{\prime }=({�}_1,\dots ,{�}_{�})\in {�}^{�}}$, o k-ésimo ${\displaystyle {�}_{{�}^{\prime }}=({�}_{{�}_1},{�}_{{�}_2},\dots ,{�}_{{�}_{�}})}$ é uma variável aleatória tendo valores em ${\displaystyle {�}^{�}}$. A distribuição ${\displaystyle {\mathbb{�}}_{{�}^{\prime }}(\cdot )=\mathbb{�}({�}_{{�}^{\prime }}^{-1}(\cdot ))}$ dessa variável aleatória é uma probabilidade medida em ${\displaystyle {�}^{�}}$. Isso é chamado uma distribuição finita de X. Sob restrições topológicas adequadas, uma coleção “consistente” de distribuições de dimensões finitas pode ser usada para definir um processo estocástico.